Wie Berechnet Man Den Oberflächeninhalt Eines Prismas

Inhalt

• Oberfläche eines Prismas – Definition
• Oberfläche eines Prismas berechnen
• Oberfläche eines Quaders – Herleitung
• Oberfläche eines Quaders – Anwendung
• Oberfläche eines dreiseitigen Prismas – Herleitung
• Oberfläche eines dreiseitigen Prismas – Anwendung
• Oberflächeninhalt eines Prismas – Zusammenfassung

Oberfläche eines Prismas – Definition

Ein gerades Prisma ist ein Körper, der von zwei kongruenten Vielecken in parallelen Ebenen und Rechtecken begrenzt wird. Die beiden Vielecke nennt homo Bodenfläche und Deckfläche und sie liegen bei einem geraden Prisma genau übereinander. Die Seitenflächen eines geraden Prismas sind Rechtecke, dice alle zwei Seitenlängen gemeinsam haben. Diese Länge ist die Höhe des Prismas. Die Oberfläche des Prismas besteht aus allen Flächen, die das Prisma begrenzen – also aus den Seitenflächen sowie der Deck- und der Bodenfläche.

In diesem Video erklären wir dir, wie du den Flächeninhalt der Oberfläche berechnen kannst. Diesen Flächeninhalt nennt human being auch den Oberflächeninhalt oder kurz die Oberfläche des Prismas.

Liegen die kongruenten Deck- und Bodenflächen eines Prismas in zueinander parallelen Ebenen, aber nicht genau übereinander, so handelt es sich um ein schiefes Prisma. Wenn du die Höhe des Prismas richtig berechnest, kannst du dice Formel für den Oberflächeninhalt von Prismen auch für schiefe Prismen verwenden.

Oberfläche eines Prismas berechnen

Um den Flächeninhalt der Oberfläche zu berechnen, benutzen wir ein Körpernetz des Prismas. Das Körpernetz erhältst du, wenn du das Prisma längs einiger Kanten aufschneidest und zu einer ebenen Figur auseinanderfaltest. An dem Körpernetz erkennst du genau, aus welchen Flächen die Oberfläche des Prismas zusammengesetzt ist.

Oberfläche eines Quaders – Herleitung

Der Quader ist ein spezielles Prisma, nämlich eines mit rechteckiger Grund- und Deckfläche. Falten wir den Quader auf, and so können wir an dem Körpernetz erkennen, aus welchen Flächen die Oberfläche des Quaders zusammengesetzt ist.

Die beiden pinkfarbenen Flächen sind kongruent zueinander. Es handelt sich um die Deck- und Bodenfläche des Quaders mit den Seitenlängen $a$ und $b$. Dice vier orangfarbenen Flächen bilden die Mantelfläche des Quaders. Diese vier Flächen bilden zusammen ein Rechteck mit den Seitenflächen $c$ in der vertikalen Richtung sowie $b+a+b+a$ in der horizontalen. Der Flächeninhalt dieses Rechtecks ist dice Mantelfläche $M$ des Quaders.

Für die Oberfläche $O$ eines Prismas finden wir die Formel:

$O=2G+M$

Hier ist $G$ dice Grundfläche und $O$ die Oberfläche des Prismas. Wir setzen die Seitenlängen ein, fassen dice Terme zusammen und erhalten die Formel für den Oberflächeninhalt des Quaders:

$O = two \cdot (a \cdot b) + (2a+2b) \cdot c$

Oberfläche eines Quaders – Anwendung

Wir berechnen den Oberflächeninhalt eines Quaders mit den Seitenlängen $a=20~\text{cm}$, $b=15~\text{cm}$ und $c=xxx~\text{cm}$. Wir setzen also die Werte für $a$, $b$ und $c$ in die Formel ein und erhalten:

$O=2 \cdot xx~\text{cm} \cdot fifteen~\text{cm} + (2\cdot xx~\text{cm} + ii\cdot fifteen~\text{cm}) \cdot 30~\text{cm} \newline ~=600~\text{cm}^2 + 2.100~\text{cm}^2 \newline ~=two.700~\text{cm}^2$

Oberfläche eines dreiseitigen Prismas – Herleitung

Ein dreiseitiges Prisma hat als Grundfläche ein Dreieck. Das Körpernetz des dreiseitigen Prismas besteht aus zwei Dreiecken und drei Rechtecken:

Die drei Rechtecke fügen sich zu einem Rechteck zusammen, dessen Flächeninhalt die Mantelfläche des Prismas ist. Die eine Seitenlänge dieses Rechtecks ist der Umfang $(a+b+c)$ der dreieckigen Grundfläche, die andere Seite ist die Höhe $h_{\text{Prisma}}$ des Prismas. Der Flächeninhalt der Dreiecke kann mithilfe einer Seite $c$ und der dazugehörigen Höhe $h_c$ berechnet werden. Die Formel für den Flächeninhalt der Oberfläche sieht dann insgesamt so aus:

$O = 2G +Yard = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c + (a+b+c) \cdot h_{\text{Prisma}}$

Mit dieser Formel kannst du dice Oberfläche jedes geraden dreiseitigen Prismas berechnen, wenn du die Seitenlängen $a$, $b$ und $c$ sowie die Höhen $h_c$ und $h_{\text{Prisma}}$ kennst.

Oberfläche eines dreiseitigen Prismas – Anwendung

Wir berechnen dice Oberfläche eines Prismas mit den Seitenlängen $a=b=c=25~\text{cm}$ und den Höhen $h_{\text{Prisma}} = 35~\text{cm}$ sowie $h_c=21,7~\text{cm}$. Dazu setzen wir dice Werte in die Formel ein:

$O=25~\text{cm} \cdot 21,7~\text{cm} + (25~\text{cm} +25~\text{cm} +25~\text{cm}) \cdot 35~\text{cm} \newline = 542,5~\text{cm} + 75~\text{cm} \cdot 35~\text{cm} \newline = 3.167,5~\text{cm}^2$

Oberflächeninhalt eines Prismas – Zusammenfassung

In diesem Video wird dir verständlich erklärt, wie du die Oberfläche gerader Prismen berechnen kannst. Zu dem Video gibt es interaktive Übungen, in denen du dein neues Wissen sofort ausprobieren kannst!

Source: https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/oberflaecheninhalt-eines-prismas-berechnen-2

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